Possibile, impossibile

Insegnare_logo1di Maurizio Berniinsegnare  26.8.2016
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– Possibile, impossibile, indeterminato, privo di significato… sono solo alcuni dei termini che usiamo nel commentare alcuni casi particolari nell’aritmetica (penso per esempio alle frazioni) e nell’algebra (equazioni). Ma sono termini densi di un significato (anche “privo di significato” lo è…), che è opportuno condividere, nel  farne uso.

Possibile o impossibile?
La sfera del “possibile”, per esempio, non è assolutamente uno spazio mentale condiviso tra insegnanti e allievi. E non si tratta tanto del continuo gioco di prestigio con cui la matematica è capace di ampliare i propri orizzonti rendendo possibile l’impossibile (su questo torneremo in seguito), quanto piuttosto di come questo concetto chiami in causa il modo di pensare e la personalità degli allievi e susciti considerazioni inattese.
In una sperimentazione in alcune classi dell’obbligo (terze secondarie di I grado e prime secondarie di II grado)  è stata presentata  una scheda [1]  in cui si proponeva di affrontare alcune operazioni coi numeri periodici al solo scopo di rendere del tutto evidente che alcune di esse erano impossibili! Per questo (posso dire, a posteriori, con una certa ingenuità), abbiamo posto una prima domanda: “Ė possibile?”, che credevamo piuttosto neutra, anzi la consideravamo tranquillizzante rispetto alla richiesta successiva, implicita e prioritaria in un contratto didattico “standard”:   “Svolgere alcune operazioni”, richiesta che, secondo noi, sarebbe stata possibile solo per quelle per la quali la prima risposta fosse stata un “SI”.
Non si chiedeva quindi l’impossibile, almeno nelle nostre intenzioni… Ma le cose, come spesso accade nell’esperienza didattica, sono andate diversamente. Ed è emerso non tanto dalle risposte, disarmanti (un “SI” quasi generalizzato, per noi incomprensibile, almeno a prima vista, come se tutte quelle operazioni secondo noi impossibili si potessero fare…), incoerenti col fatto che poi questi risultati non erano riportati, come del resto ci aspettavamo, quanto, gradualmente, dalle discussioni che sono seguite  in classe… e non tanto da ciò che è stato detto, quanto piuttosto dal non detto. Che cosa ha smosso questa semplice domanda: “Ė possibile?”, negli allievi? Credo di aver capito questo, senza averne certezza: “Se il prof. mi ha dato questo compito, non può essere impossibile! …ma questo non significa che io lo sappia svolgere, anzi il più delle volte non ne sono capace.”.
Quello che a prima vista appare come un semplice atto di umiltà, o di scarsa autoefficacia, è in realtà un ragionamento, se vogliamo non elaborato, ma piuttosto sofisticato, perché giunge a una conclusione per doppia negazione: una cosa è possibile perché non può essere impossibile. Volendo rivestire di dignità culturale questo atto ingenuo ma profondo, viene in mente il punto di vista della logica modale [2], che prevede l’esistenza di enunciati possibili, che sono quelli  veri in almeno un mondo possibile, e vale la seguente equivalenza logica:  un enunciato p è possibile se e solo se non è vero che valga necessariamente la negazione di p.
Considerare la sfera del possibile molto più ampia di ciò che uno si sente in grado di fare apre orizzonti di senso e di conoscenza senza limiti… e fa sì che anche i giochi di prestigio della matematica non appaiano più come tali.
A questo punto si può rovesciare il discorso e chiederci: se l’impossibile è solo una parte di ciò che non sono in grado di fare… quali sono i suoi confini? Nell’esperienza sensibile è più facile distinguere, almeno in certe specifiche situazioni, l’umanamente possibile dall’impossibile, ma nella matematica… Il tema affascina da sempre anche gli specialisti, se pensiamo alle congetture, che resistono ad una dimostrazione e che dividono i matematici tra “possibilisti”  e no…[3].
Una di queste era l’Ultimo Teorema di Fermat, enunciato da Pierre De Fermat intorno al 1630, e dimostrato nel 1994 da A. Wiles: “L’equazione  xn+yn= znon ha soluzioni intere per n>2”[4]. Nel XIX secolo, il grande matematico C.F. Gauss veniva sollecitato a occuparsi della questione; ma egli così rispondeva: “L’ultimo teorema di Fermat mi interessa assai poco, perché io potrei facilmente affermare una moltitudine di proposizioni simili, che non potrebbero essere né dimostrate, né confutate”. E in effetti, le conoscenze del tempo non sarebbero state sufficienti per trovare una dimostrazione come quella del 1994  [5]; dunque si trattava di un problema possibile (infatti nel 1994 è stato dimostrato come vero), ma ai tempi di Gauss nessuno lo sapeva fare…, un po’, fatte le debite proporzioni, come capita ai nostri studenti con quelle operazioni coi numeri periodici: cose possibili che nessuno per il momento sa fare…
Ecco allora che emerge l’importanza di fare di più i conti con gli “aloni cognitivi” dei termini che usiamo nella matematica; per esempio viene da chiedersi se non sia opportuno sostituire il concetto di “Impossibile”, così indefinito, e così categorico, e in fondo così carico di negatività, con termini più neutri, più circoscritti nel loro campo semantico, come “Sei in grado di svolgere questa operazione?”, oppure, nelle equazioni “non ci sono soluzioni all’interno di questo insieme numerico” .

Indeterminato
Un altro termine che fa la sua comparsa con le equazioni, ma prima ancora con le frazioni, è “indeterminato”. Il termine, in coerenza col suo significato comune, è un po’ vago, perché esistono diversi vari gradi di indeterminazione (detti anche “gradi di libertà”, anche questa parola, libertà, non è da poco in quanto ad aloni cognitivi…), e sembra quasi contraddittorio poter assegnare una gradazione a ciò che si dichiara di non poter determinare. Pensiamo per esempio a un’equazione lineare in due variabili del tipo x+y=2, che ha un solo grado di indeterminazione/libertà, oppure a un’identità algebrica con le stesse due variabili, come x+y+y=x+2y, che ne ha due… oppure che dire di equazioni, sempre in due variabili, del tipo x2+y2=-1, dove tutto dipende da dove cerco le soluzioni  [6]? Non dà proprio l’idea di qualcuno o qualcosa che, per muoversi, ha bisogno di più spazio (e quindi di libertà…)?

Determinato
Una situazione che si qualifica come “determinata” ci appare come in una posizione intermedia, tra l’impossibile (nessuna soluzione) e l’indeterminato (infinite soluzioni). Questa sarebbe la corretta collocazione del significato di questo termine, ma in realtà anch’esso ha un alone cognitivo che ne distorce la percezione; anzi, se viene lasciato proliferare indisturbato nella struttura cognitiva degli allievi, rischia di invadere tutta la matematica, e non solo.
Mentre il termine “impossibile” sembra contrapporsi a “determinato”, come casi che si escludono a vicenda, l’ipotesi (o la presunzione) di saper determinare l’impossibilità o meno di una situazione, di un problema, può creare, a livello subliminale, una gerarchia tra i due concetti, con una supremazia del “determinato”.
Un caso particolare notevole nel mondo del “determinato” è costituito dalla linearità, cioè quel tipo di modello matematico secondo cui ogni problema ammette sempre una e una sola soluzione; questo, che dovrebbe essere solo un caso particolare (superato già dalle equazioni di secondo grado, in cui le soluzioni possono essere due, quindi più d’una) può generalizzarsi e diventare prima di tutto un contratto didattico implicito [7];  peggio se lascia un’impronta tale da pervadere tutta l’immagine della matematica, che invece ha proprio nell’indeterminazione una sua importante frontiera di ricerca (modelli previsionali di tipo probabilistico-statistico); e peggio ancora se, in età adulta, resta come residuo dogmatico dell’insegnamento scientifico in generale: la scienza come campo del sapere da cui ci aspetta una risposta univoca a ogni problema posto.

Privo di significato
Tendenzialmente evito di utilizzare questa espressione. Si usa dire “priva di significato” una frazione algebrica, per i valori delle variabili che annullano il suo denominatore. Ha senso chiedersi quali siano questi valori quando la frazione algebrica viene vista nel suo aspetto funzionale (funzione razionale), e non come un oggetto puramente algebrico. Tuttavia, se un denominatore di una funzione razionale si annulla per un certo valore, vuol dire che rappresenta una funzione infinitesima in un intorno di quel valore. E dunque riacquista un senso nell’ambito dello studio delle funzioni razionali. Mi chiedo allora: è opportuno etichettare come “priva di significato” una situazione che poi diventerà argomento centrale dell’analisi matematica, come il confronto tra infinitesimi, con una riattribuzione “forte” di significato?

Matematica e mondi possibili
Una frontiera della matematica moderna è giocare sugli assiomi di una teoria, aggiungendone o togliendone alcuni, e cercare dei modelli che interpretano i diversi sistemi che ne derivano. Così abbiamo la geometria euclidea e le geometrie non euclidee, oppure i modelli standard e quelli non standard dei numeri reali, e così via. Ė bello se riusciamo a dare questa immagine della matematica: come un sistema che permette di inventare tanti mondi possibili…; dove se un modello interpreta la realtà, non si identifica con la realtà stessa,  ma si costruisce con la consapevolezza dell’infinità di varianti che vi si possono applicare (…e come il tutto sia manipolabile con curiosità scientifica, con onestà intellettuale o dietro la spinta di interessi…); dove tutto l’immaginabile sia potenzialmente possibile in uno dei suoi mondi, e dove la determinazione, e all’interno di essa la linearità, invece di invadere  tutto l’universo del possibile diventando schemi ideologici rigidi, agiscano saldamente sotto il controllo costante di un pensiero che viene via via maturandosi in modo sempre più articolato e riflessivo e aperto a mondi possibili i cui orizzonti si spostano sempre oltre.

 

Note

  • 1. Vedi M. Berni, Il linguaggio algebrico,  PQM, Indire, Attività 2, Consegna 1.
  • 2. Vedi  voce “Logica modale“, Wikipedia.
  • 3. Per puntualizzare: finché una congettura resta tale, e non diventa un teorema (oppure viene spazzata via da un controesempio…) non ci sono solo gli schieramenti tra chi crede che sia vera e chi crede che sia falsa; spesso c’è a monte uno schieramento tra chi crede che sia possibile stabilire la sua verità o falsità e chi crede che non sia possibile farlo (proposizione indecidibile, secondo il concetto introdotto da K. Godel).
  • 4. Questo teorema ha suscitato tre secoli e mezzo di dibattiti e decine di dimostrazioni “sbagliate”; per approfondire si veda questo contributo di Claudio Bonanno, da MaddMaths.
  • 5. Il che non deve portare a escludere che potesse esistere una dimostrazione alternativa, adeguata alle conoscenze del tempo; ma questa dimostrazione non c’è mai stata…
  • 6. Equazione impossibile nei numeri reali, indeterminata con grado di libertà 1 nei numeri complessi.
  • 7. Si pensi a quei test pseudologici in cui si chiede di proseguire una data successione di termini…

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